Algunas palabras sobre los nuevos fundamentos de las matemáticas y lógica.

Hay preguntas que no se pueden responder con un sí o un no. Que haciéndolo perdemos el "qué", el matiz, el "de lo que hablamos". Y lo importante para la silenciosa revolución en fundamentos de las mates que ahora vivimos es que: esto no es algo accesorio y "avanzado".

A veces se puede "inventar" artificialmente una respuesta "sí/no" pero que puede no dar cuenta del contexto, del tema del que se habla...

Por ejemplo, en un simple autómata -de esos que se estudia al principio de las teorías matemáticas que se dan en informática- osea, para un "sistema dinámico" dado (una sola bolsa con bolas conectadas con flechas de la manera en que sólo puede salir una de cada elemento del sistema (cada paso cuando apretamos el botón "dar un paso" está definido unívocamente)); como digo, en un "autómata" nos podemos fijar en un estado y querer ver si pertenece a un determinado subconjunto de estados, osea, a un determinado subsistema. Ahora bien, este "objeto" es un sistema dinámico, es un poco más que un mero conjunto, en él existen esas flechas que dan el toque que le diferencia de ser un mero conjunto. Por tanto, los estados pueden no estar dentro de el subsistema dado pero sin embargo "caer" en él tras una serie de pasos (n), o no caer nunca.

Como sabrás, la lógica de sí/no, surje naturalmente si nos preguntamos esta misma cosa que he comentado -sobre partes de un objeto, sobre subobjetos, subconjuntos- pero en un conjunto dado.

Esto es, podemos tener en vez de un sistema dinámico un conjunto, ahora sin flechas, y en él podemos preguntarnos si un determinado "estado", "elemento", pertenece o no a un subconjunto del conjunto dado. En el caso de tener un conjunto la respuesta es un claro sí/no: o una bola está o no está entre las "rojas", o las "verdes"... El conjunto, el objeto que nos da cuenta de los "valores de verdad", tiene en este caso 2 elementos, que llamamos por ejemplo '0' y '1'. Pero en el caso de los autómatas este objeto de valores de verdad ya no es el conjunto "2". Es otro sistema dinámico más, como en conjuntos lo era el 2, pero con infinitos estados, que de hecho no podemos dibujar, ya que tiene un estado "infinito", que da cuenta de aquellos estados que nunca caerán dentro del subobjeto sobre el que hacemos la pregunta: ¿este estado está en nuestro subsistema?, a la que contestamos, bueno, no está, pero tras 2.000.000 de pasos llega. O bueno, sí está... O quizás: sólo le falta un paso para llegar... O: no llega nunca a estar, no está "conectado" con el subsistema.

Así que es más claro aún, gracias a los conceptos de esta nueva presentación de los fundamentos de las matemáticas, que no se puede imponer la enseñanza de la lógica sí/no como la más importante, ya que ni estas categorías matemáticas tan "sencillas" como la de los autómatas no la siguen.

Hablemos por tanto de ese acto de pensamiento que ponemos de nuestra parte y que quizás no es "computable", cuando decimos que algo es verdad (quiero decir, "programable" muy directamente), eso que sentimos cuando pensamos en la categoría de conjuntos y decimos: bien, pepito pertenece al conjunto de los que tienen el pelo... moreno, por ejemplo. Sentimos "la verdad" como un proceso de ajuste de una categoría matemática, subjetiva, "los conjuntos", a alguna "realidad" que en cierta manera modelizamos: por ejemplo lo del pelo se puede hacer algo muy "sí/no" en cada momento. Ahora mismo, podemos pensar cuántos de nosotros tienen pelo en la cabeza que irradie en un determinado rango de "luz" y decir: sí o no). Este tiene algún pelo en el rango, este otro no...

En el caso de reconocer en la realidad algo muy modelizable por ejemplo con "autómatas", seguramente lo necesario para empezar a pensar ahí es entonces ajustar ese "sentir la verdad", o el mero "hablar", al lugar en donde realmente estemos empezando a "pensar", que en este caso es diferente a los "conjuntos". Ahora tendríamos que acostumbrarnos entonces a decir: bueno, este estado "pertenece" al subsistema "X" con un "valor de verdad" 13, o 0, o infinito... Y eso requerirá que la "prosa" que usemos para hablar varíe -una vez sabemos que la categoría matemática idónea para empezar es "tal" o tal otra.

Pasa como en mecánica cuántica, cuando la introducen. Estaba harto de oír una y otra vez la filosofía barata de los físicos de "oh, qué poco intuitivo que es esto". Vaya, hay que "institucionalizar" un poco más de "humildad", de actitud científica, hay que acostumbrarse a cada categoría matemática, no querer evitar el pensamiento de lo que te encuentras por tu camino o forzarlo hacia lo que ya sabes, como un elefante en una cacharrería; es que es la leche, me ponía nervioso esa frase de "qué poco intuitivo que es" esto. Después descubro que eso se llama ser "reaccionario", ya que es una actitud no muy dispuesta a admitir que hay que decidir otro tipo de pensamiento que no está dominado o registrado por las "enciclopedias". ¡Qué falta de respeto! siquiera un poco de respeto, para con todo lo que se piensa y se ha pensado en filosofía de la ciencia o en filosofía a secas, de la que además echan mano prestigiosos teóricos ya mismo, en estos momentos. Qué cutre y qué poca didáctica y cuánto elitismo de paletos, que todo tiene que ver, pero bueno.

Esto podría servir entonces para describir cómo se puede trabajar investigar incluso para libros o proyectos más humanísticos: la realidad te da pistas de qué formas de pensar puedes elegir más adecuadas, de cuáles son las preguntas adecuadas y qué tipo de respuestas más o menos complejas pueden ser las adecuadas. Luego uno escoge aposta un tipo de pensamiento adecuado a la categoría subjetiva hallada, más o menos matematizada, según haga falta, y entonces amoldas el lenguaje/lógica en un viaje interminable que vaya aclarando y complejizando nuestra visión del mundo. Es una sugerencia intuitiva, no sé si se me entiende.

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