Flechas

¿"Partículas" que se relacionan vs relaciones que "particularizan"?

Sobre un acontecimiento silencioso para el pensamiento (que puede usarse por ejemplo en ámbitos "educativos" (ámbitos que mal que nos pese, existen)).

1. En resumen...
2. En usando... materiales y usos...

1.- Un "acontecimiento silencioso" [1] para el "pensamiento" (que tiene que ver con las matemáticas, etc) aún no ha "traspasado" y lleva ya bastantes años "ocurriendo".

Aunque en principio parece haber muchas cosas con estas "características" por el mundo, como esto va de "fundamentos" podría ser que fuera de vuestra utilidad, así que lo comentamos.

Ya imaginarás que si unas "matemáticas" tan básicas como son los conceptos de conjuntos nos las pueden dar hasta en la educación infantil, el proceso de "comunicación inconsciente" en que a veces consiste ese tema de los fundamentos de las matemáticas no tiene por qué dejar de "evolucionar", por supuesto (aunque ya se sabe, "la escuela", con la "sociedad", es algo que puede o debería poder evolucionar más en general y de diversos modos, pero esa es "otra historia"...).

De hecho a lo que llegan de repente las matemáticas a mediados del siglo XX es a forzar definitiva y repentinamente una especie de "giro" (ese "poder de las palabras"...). Un giro que no ha transcendido, por supuesto, a la en cierto modo excesivamente "obsesionada" "educación-basada-en-elementos-de-conjuntos-y-partículas".

Básicamente dos matemáticos deciden la palabra "categoría" para hablar de un universo de relaciones -y objetos (y poco más). Pero la clave está en que se dan cuenta de que un enfoque que de mayor importancia al "morfismo", la flecha, la relación, es útil, muy profundo y fundamental.

Se establece entonces, con aquello de "categoría", un marco que pudiéramos llamar más "holista". Nos encontramos de repente con una clara posibilidad de hablar de cierta interdependencia entre "relaciones" e "interiores", entre "aparecer" y "ser".

Esto es, en principio, y como pensamiento inicial sobre todo esto, podríamos decir que un ser determinado, un objeto, "no sería nada" fuera de la categoría en la que se inscriba. Esto es, un ser lleva aparejado un "universo relacional" (por ejemplo, decir que tenemos "conjuntos", esto es, objetos que son "bolsas" de pelotas sin cohesión entre sí, nos obliga a no tener una libertad en cuanto al universo relacional donde inscribimos tales objetos: las aplicaciones entre los conjuntos, si las elegimos como nos las dieron en la escuela, no se pueden elegir de cualquier manera en este universo de relaciones entre "seres sin cohesión".).

O, partiendo a su vez desde la dimensión del "aparecer", de la de las meras relaciones, podemos por ejemplo pensar inicialmente cómo las restricciones que vayamos poniendo a un tal universo relacional -a sus flechas y sin mirar al interior/ser de los objetos- pueden o no dar cabida a varios tipos de ser/interior. Osea, podríamos decir que diferentes "lógicas relacionales" permiten diferentes "seres", ya que la lógica es una dimensión que atañe a este aparecer, a estas "relaciones".

De hecho uno de los "logros" de esta teorización fundamental es una mejor visualización "matemática" de cómo la verdad parcial no es algo accesorio, ni mucho menos, en matemáticas. La "verdad" depende de las
relaciones que rodean a un objeto particular en nuestra categoría, el cual -y si la categoría lo "admite"- se llama "objeto de valores de verdad" (que en la categoría de conjuntos es el "2", conjunto de dos elementos, sí/no; seguramente "el causante" de todas nuestras diatribas contra el "pensamiento binario", ya que como "seres inteligentes" y sin "cortapisas", en cierto modo ya "sabríamos" o tendríamos la capacidad de intuir teorías más avanzadas y esto de empezar la "lógica"/pensamiento
por un "sí/no" echa y ha "echado para" atrás a cualquiera (ya que de hecho es muy desagradable a veces, vaya)).

2.- Utilidad y materiales

Así que para terminar comentamos que puede ser útil para ti, o tus amig@s tener noticia de esto si es que no la tuvieras ya. Puede por ejemplo usarse para motivar "didácticas" de eso que dicen que dan bajo el nombre de "matemáticas" y que es a veces demasiado instrumental, o puede usarse en general para didáctica en cuanto al pensamiento en general.

Existe un libro que da cuenta de este tema apropiadamente, aunque desde la óptica de las "matemáticas puras", si bien la "línea de fuga" hacia mayores contactos con la "filosofía" e "interdisciplinariedades varias" la podemos ver reflejada en el título:

"Matemáticas conceptuales: una primera traducción a categorías". Lawvere $ Schanuel. Editado por siglo XXI en Méjico, pero encontrable en España y afortunadamente no muy caro, aunque por supuesto con "copyright".
(¡No tenemos comisión ni somos vendedores! ¡No vayáis a ser malpensados!)

De hecho la palabra 'filosofía' aparece en este texto donde se da de hecho una simple y posible descripción/definición de los cometidos de la filosofía, que, por cierto, es llamada también "ciencia" en el libro.

En esta página tengo unos pocos enlaces y comentarios relativos al libro. Y en general aquí tengo más textos introductorios -más o menos "locos"- aparte de algún que otro atisbo conceptual en la wiki o en los html, y algún que otro comienzo más formal... etc. Pero por ahora todo está bastante "iniciático" y las capacidades técnicas de comunicación debieran poderse aumentar, pero bueno.

Así que si da la casualidad de que te interesa o conoces a alguien interesado o que quiera interesarse me tienen vdes a su disposición para ayudar en lo que pudiera -y para que me ayuden claro.

Notas

[1] El filósofo francés Alain Badiou usa esas palabras hablando de este
tema en el libro también "recientemente" publicado: "Breve tratado de
ontología transitoria", Gedisa editorial. Por ejemplo.

Algunas palabras sobre los nuevos fundamentos de las matemáticas y lógica.

Hay preguntas que no se pueden responder con un sí o un no. Que haciéndolo perdemos el "qué", el matiz, el "de lo que hablamos". Y lo importante para la silenciosa revolución en fundamentos de las mates que ahora vivimos es que: esto no es algo accesorio y "avanzado".

A veces se puede "inventar" artificialmente una respuesta "sí/no" pero que puede no dar cuenta del contexto, del tema del que se habla...

Por ejemplo, en un simple autómata -de esos que se estudia al principio de las teorías matemáticas que se dan en informática- osea, para un "sistema dinámico" dado (una sola bolsa con bolas conectadas con flechas de la manera en que sólo puede salir una de cada elemento del sistema (cada paso cuando apretamos el botón "dar un paso" está definido unívocamente)); como digo, en un "autómata" nos podemos fijar en un estado y querer ver si pertenece a un determinado subconjunto de estados, osea, a un determinado subsistema. Ahora bien, este "objeto" es un sistema dinámico, es un poco más que un mero conjunto, en él existen esas flechas que dan el toque que le diferencia de ser un mero conjunto. Por tanto, los estados pueden no estar dentro de el subsistema dado pero sin embargo "caer" en él tras una serie de pasos (n), o no caer nunca.

Como sabrás, la lógica de sí/no, surje naturalmente si nos preguntamos esta misma cosa que he comentado -sobre partes de un objeto, sobre subobjetos, subconjuntos- pero en un conjunto dado.

Esto es, podemos tener en vez de un sistema dinámico un conjunto, ahora sin flechas, y en él podemos preguntarnos si un determinado "estado", "elemento", pertenece o no a un subconjunto del conjunto dado. En el caso de tener un conjunto la respuesta es un claro sí/no: o una bola está o no está entre las "rojas", o las "verdes"... El conjunto, el objeto que nos da cuenta de los "valores de verdad", tiene en este caso 2 elementos, que llamamos por ejemplo '0' y '1'. Pero en el caso de los autómatas este objeto de valores de verdad ya no es el conjunto "2". Es otro sistema dinámico más, como en conjuntos lo era el 2, pero con infinitos estados, que de hecho no podemos dibujar, ya que tiene un estado "infinito", que da cuenta de aquellos estados que nunca caerán dentro del subobjeto sobre el que hacemos la pregunta: ¿este estado está en nuestro subsistema?, a la que contestamos, bueno, no está, pero tras 2.000.000 de pasos llega. O bueno, sí está... O quizás: sólo le falta un paso para llegar... O: no llega nunca a estar, no está "conectado" con el subsistema.

Así que es más claro aún, gracias a los conceptos de esta nueva presentación de los fundamentos de las matemáticas, que no se puede imponer la enseñanza de la lógica sí/no como la más importante, ya que ni estas categorías matemáticas tan "sencillas" como la de los autómatas no la siguen.

Hablemos por tanto de ese acto de pensamiento que ponemos de nuestra parte y que quizás no es "computable", cuando decimos que algo es verdad (quiero decir, "programable" muy directamente), eso que sentimos cuando pensamos en la categoría de conjuntos y decimos: bien, pepito pertenece al conjunto de los que tienen el pelo... moreno, por ejemplo. Sentimos "la verdad" como un proceso de ajuste de una categoría matemática, subjetiva, "los conjuntos", a alguna "realidad" que en cierta manera modelizamos: por ejemplo lo del pelo se puede hacer algo muy "sí/no" en cada momento. Ahora mismo, podemos pensar cuántos de nosotros tienen pelo en la cabeza que irradie en un determinado rango de "luz" y decir: sí o no). Este tiene algún pelo en el rango, este otro no...

En el caso de reconocer en la realidad algo muy modelizable por ejemplo con "autómatas", seguramente lo necesario para empezar a pensar ahí es entonces ajustar ese "sentir la verdad", o el mero "hablar", al lugar en donde realmente estemos empezando a "pensar", que en este caso es diferente a los "conjuntos". Ahora tendríamos que acostumbrarnos entonces a decir: bueno, este estado "pertenece" al subsistema "X" con un "valor de verdad" 13, o 0, o infinito... Y eso requerirá que la "prosa" que usemos para hablar varíe -una vez sabemos que la categoría matemática idónea para empezar es "tal" o tal otra.

Pasa como en mecánica cuántica, cuando la introducen. Estaba harto de oír una y otra vez la filosofía barata de los físicos de "oh, qué poco intuitivo que es esto". Vaya, hay que "institucionalizar" un poco más de "humildad", de actitud científica, hay que acostumbrarse a cada categoría matemática, no querer evitar el pensamiento de lo que te encuentras por tu camino o forzarlo hacia lo que ya sabes, como un elefante en una cacharrería; es que es la leche, me ponía nervioso esa frase de "qué poco intuitivo que es" esto. Después descubro que eso se llama ser "reaccionario", ya que es una actitud no muy dispuesta a admitir que hay que decidir otro tipo de pensamiento que no está dominado o registrado por las "enciclopedias". ¡Qué falta de respeto! siquiera un poco de respeto, para con todo lo que se piensa y se ha pensado en filosofía de la ciencia o en filosofía a secas, de la que además echan mano prestigiosos teóricos ya mismo, en estos momentos. Qué cutre y qué poca didáctica y cuánto elitismo de paletos, que todo tiene que ver, pero bueno.

Esto podría servir entonces para describir cómo se puede trabajar investigar incluso para libros o proyectos más humanísticos: la realidad te da pistas de qué formas de pensar puedes elegir más adecuadas, de cuáles son las preguntas adecuadas y qué tipo de respuestas más o menos complejas pueden ser las adecuadas. Luego uno escoge aposta un tipo de pensamiento adecuado a la categoría subjetiva hallada, más o menos matematizada, según haga falta, y entonces amoldas el lenguaje/lógica en un viaje interminable que vaya aclarando y complejizando nuestra visión del mundo. Es una sugerencia intuitiva, no sé si se me entiende.

Para seguir este tema es bueno leer y/o promocionar este nuevo, sencillo y profundo libro:

información aquí.

Ni el fin de la historia ni el fin de la filosofía.

Esto a algun@s les va a parecer demasiado "clasicorro" (clásico) a otr@s quizá les de pistas. Ante el nihilismo de "no hay nada nuevo bajo el sol" -que toda época parece contener- ahí están "las matemáticas", que nos dan una "lección": sí lo hay, así de sencillo, entre otras cosas porque existen los "fundamentos de la matemática".

No hay ni habrá fin de la historia, porque nunca dejarán de existir los procedimientos de verdad/fidelidad que la filosofía propone o ve en cada momento como composibles, "articulables".

Estos procedimientos -dice Badiou- no son otros que la ciencia, el arte, la política y el amor (siempre que se pueda decir que existan de una manera no desvirtuada, de forma no coaccionada, "verdadera").

Sólo en una sociedad plenamente totalitaria podrían dejar de existir todos ellos o cualquier otro que podamos si acaso inventar, nombrar, a lo largo del tiempo.

La filosofía además se limita a hacer composibles, si existen, tales procedimientos creadores de mundo y que son en cierto modo "acontecimientales".

La filosofía sería entonces la teoría del acontecimiento. Ese matiz acontecimiental es lo compartido por todas esas actividades y, mientras haya civilización, habrá siempre personas que aparenten estar hablando por hablar pero que sin embargo están haciendo no otra cosa que filosofía.

En esos procedimientos de fidelidad, los acontecimientos se encargan de reestructurar las respectivas enciclopedias: las revoluciones políticas -lentas o rápidas- cambian el sentido de las palabras "en general"; las revoluciones científicas -por ejemplo en matemáticas- reestructuran amplificando enormemente el propio campo de estudio; en arte, el surgimiento de uno o varios artistas determinados en cierta "rama" artística, hace que haya "un antes y un después" que debe tenerse en cuenta en las futuras creaciones pertenecientes a dicho arte, o a veces incluso en otros; en el amor, nuestra particular e individual enciclopedia apolítica puede quedar trastocada por una conexión impredecible con otra persona.

La mayor parte de lo que llamamos filosofía retrocede ante esta realidad: la filosofía como teoría del acontecimiento. Por ejemplo, en los centros de enseñanza está claro que por lo general nadie pretende poner en marcha ni la capacidad de crear, o de investigar, ni la de cambiar el mundo "igualitariamente" o la de amar, y mucho menos la de recombinar o pensar el lugar de cada una de tales actividades en el mundo.

Por otra parte las apasionantes y misteriosas conexiones entre matemáticas inventadas y teorías físicas más o menos experimentadas (de "experimento") -llevadas a límites insospechados en el siglo XX- hacen que no sintamos ya ninguna extrañeza cuando Badiou afirma que las matemáticas son la ciencia del ser, la ontología.

Ahora con mayor facilidad, los filósofos pueden considerar seriamente esta afirmación -y lo hacen- para crear libremente en su ciencia, en la teoría del acontecimiento. En ello pueden además ayudarse de la letra matemática en la medida que quieran y puedan, sin complejos, como ya se viene haciendo, demostrando así que se pueden usar las matemáticas y otras ciencias, y que se puede hablar infinitamente del ser-matemático, como demuestra Badiou. Esto además sirve para comprender, enseñar y usar mejor las propias ciencias, y con ello comprender mejor el mundo y no dejarlo meramente en manos de Los Expertos.

Como digo, esto lo ha demostrado -haciéndolo- Badiou en su "el ser y el acontecimiento" con la ya vieja teoría fundamental de conjuntos. Él habla de correlatos ontológicos, de que toda la matemática, como ciencia del ser que es, tiene correlatos ontológicos. Fuera de reducir a mero cálculo o técnica el pensamiento matemático, este tiene la capacidad de provocar la creación de conceptos muy palpables.

Badiou parece ser que lleva años trabajando en la segunda parte de este su "libro fundamental". Se va a llamar -según dice- "el ser y el aparecer". Se basará ahora en una nueva teoría fundamental en matemáticas que surge a mediados de los años 40 del siglo pasado, la Teoría de las Categorías {[1] [2]}, más tarde enriquecida con la de los Topos -"Topoi" o "Toposes", etc.

Este título -"el ser y el aparecer"- es así debido a que el lugar de la lógica en las matemáticas ha sido clarificado con estos nuevos fundamentos. Ahora la lógica tiene una presentación puramente matemática, con lo que además Badiou ayuda a contrarrestar lo que de contraproducente sigue teniendo el "giro lingüístico" en filosofía.

La "dimensión lógica" en una categoría matemática -por ejemplo los conjuntos finitos, que son una categoría muy sencilla pero que sirve para ilustrar los potentes y generales conceptos categoriales- empieza a despuntar cuando empezamos a ver las cosas de modo externo, "nublando la vista", considerando solamente relaciones y objetos en una visión que podemos llamar puramente categorial (una categoría es un universo de discurso matemático donde sólo se tienen en cuenta los objetos y las flechas, no su ser interno; a modo de un "grafo" pero con algún matiz que universaliza este otro concepto (de hecho los grafos son otra categoría): por ejemplo un conjunto de tres elementos, considerado categorialmente, es un punto, un "objeto" en esa categoría de los conjuntos finitos, y no nos interesamos por lo que "tiene dentro" sino por todas sus relaciones ("fuera") con respecto a todos los demás "compañeros de universo", respecto -en este caso- a todos los otros conjuntos finitos. Su ser categorial, su "aparecer" -que atañe a la dimensión lógica- está entonces en cierto modo compuesto por las infinitas relaciones/flechas que parten de él o llegan hacia él con respecto al resto de objetos. Estas flechas/relaciones tienen a su vez determinada su cantidad y su posible estructura por ese otro ser interno de los objetos, por ser un 3, un conjunto de tres elementos, en esta categoría sin cohesión interna: por ejemplo las flechas que parten/llegan hacia/desde el 1, o hacia/desde el 199324, y así con todos los demás objetos en esta especie de espacio subjetivo.).

De ahí el título "el ser y el aparecer" y de ahí que estemos realmente inquietos no sólo por querer trabajar y usar estos conceptos, sino también porque Badiou publique de una vez su libro -a poder ser en copyleft*- sobre esos correlatos ontológicos que se basan esta vez en esta nueva y clarificadora teoría fundamental de la matemática.

Hace no mucho tiempo que planteamos un primerizo taller sobre esto, si hay alguien interesad@ que quiera "investigar" o ayudar en algo puede seguir este link o comentar cosas en la lista de correo en wh2001 llamada "Flechas".

*Me temo que es difícil, pero a ver si hay suerte y al menos inicia una "editorial copyleft", aunque dependiendo como depende tanto este hombre de las universidades que le dan de comer será difícil. No sé qué pasa con "los clásicos" y a veces con los no tan clásicos. Si alguien que lea esto es su amig@, por favor, ¡que le insista en ello!